Limite de siruri

George95 Joi Dec 13, 2012 10:41 pm

Buna ziua!Va rog sa ma ajutati in rezolvarea urmatorului exercitiu: $\lim_{n\rightarrow \infty }n(\sqrt[n]{a}-\sqrt[2n]{a})=1$
Trebuie sa aflu parametrul real a.Si nu am nici o idee!!

**Admin** Vin Dec 14, 2012 8:23 pm

$\begin{array}{l} {\text{Pentru rezolvare}}{\text{, voi folosi o metoda geniala}}{\text{, presupun ca trebuie sa calculezi acea limita }}\\ {\text{fara sa stiu natura lui a:}}\\ \\ L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n\left( {\sqrt[n]{a} - \sqrt[{2n}]{a}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n\left( {{a^{\frac{1}{n}}} - {a^{\frac{1}{{2n}}}}} \right)\\ \\ {\text{Pentru aceasta limita voi face o substitutie:}}\,y = \frac{1}{n} \Rightarrow L = \mathop {\lim }\limits_{{\color{Red} y \to 0}} \frac{{{a^y} - {a^{\frac{y}{2}}}}}{y}\\ \\ {\text{Pentru aceasta limita voi folosi fomula pentru limita fundamentala}}\\ \\ L = \mathop {\lim }\limits_{{\color{Red} y \to 0}} \frac{{{a^y} - {a^{\frac{y}{2}}}}}{y} = \mathop {\lim }\limits_{{\color{Red} y \to 0}} \frac{{\left( {{a^{\frac{y}{2}}} - 1} \right)}}{{\frac{y}{2}}} \times \frac{{{a^{\frac{y}{2}}}}}{2} = \frac{{\ln a}}{2}\\ \\ L = 1 \Rightarrow \frac{{\ln a}}{2} = 1 \Rightarrow a = {e^2}. \end{array}$

Cum vi se pare ?!

Limite de siruri

Limite de siruri

Re: Limite de siruri