Divizibilitate

lflorea Mier Dec 12, 2012 1:08 am

Sa se arate ca pentru orice numar natural $n\geqslant 2$ exista naturale distincte a1,a2,..,an divizibile cu 3 astfel incat $\frac{1}{2}=\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+...+\frac{1}{an}$

**Greatmath** Dum Ian 13, 2013 2:50 am

Problema a fost rezolvata pe un alt forum de matematica ... rezolvarea mi se pare interesanta.... S-a folosit metoda inducției:

$\begin{array}{l} \bullet \ P\left( 2 \right):\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \Rightarrow {a_1} = 3,{a_2} = 6\\ \\ \bullet \ {\text{Presupunem }}P(k){\text{ adevarata}}:\frac{1}{2} = \frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + ... + \frac{1}{{{a_k}}}\\ \\ \bullet\to {\text{Demonstram }}P(k + 1){\text{ adevarata}}:\frac{1}{2} = \frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + ... + \frac{1}{{{a_{k + 1}}}}\\ \\ \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \left( {\frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + ... + \frac{1}{{{a_k}}}} \right)\\ \\ {\text{Astfel am pus in evidenta}}\ \,k + 1\,{\text{numere}}:{{a'}_1} = 3,{{a'}_2} = 3{a_1},...,{{a'}_{k + 1}} = 3{a_k}\\ \\ {\text{Se observa ca acestea sunt distincte si divizibile cu 3}}. \end{array}$

Divizibilitate

Divizibilitate

Re: Divizibilitate