Ultima cifra a unui nr nat clasa a 5-a

Sunt mama lui Andy 28.Doresc sa va spun ca apreciez modul in care ajutati elevii in rezolvarea problemelor.Am vazut cum dati explicatii amanuntite.Imi folosesc si mie,caci invat din ce postati ,ca sa-l pot ajuta pe fiul meu.Am uitat multe si acum imi reimprospatez unele cunostinte cu ajutorul dvs.Pentru tot ce faceti pt copii,ma rog ca Dumnezeu sa va dea sanatate,sa rasplateasca faptele bune implinaindu-va tot ce va doriti.Nu toti avem posibilitati de meditatii pt copiii nostri si apoi...si problemele sunt tare grele,incat aproape zilnic au nevoie de un sprijin.

Doresc sa ma ajutati si pe mine intr-o problema despre ultima cifra a unui nr nat. AFLATI ULTIMA CIFRA A NUMARULUI: n=1*2*3+2*3*4+3*4*5+....+98*99*100.
Va multumesc.

O soluţie ar fi următoarea:

Notăm cu:

Notăm cu :


Observaţi că dând diferite valori lui k se obţine "mini" sume din suma iniţiala, am impărţit suma respectivă în mici bucăţele ("mini" sume) pe care am să explic mai departe.
Apoi ne folosim de acest exemplu ( de fapt este o proprietate):

Acum vom trece la problema noastră:
Pentru a afla ultima cifra a sumei de mai sus, o soluţiei ar fi să nu calculăm cu formule matematice suma ci să ne folosim de proprietatea de divizibilitate de mai sus:
Observăm că pentru k = 10 => termeni sumei vor fi: 10*11*12+11*12*13+....+18*19*20 este suma notată cu S18 (am izolat doar o bucăţica din sumă ca să vă explic cum se procedează mai departe), ce observăm la această suma ?

ş.a.m.d
Concluzie :

Singurul dezavantaj al acestei metode este necesitatea calculului U(S_9) care nu este unul dificil ci unul anevoios
Şi mai departe, notăm cu:

Folosind aceaşi raţionament se obţine:
ş.a.m.d
Intr-un final, ajungem la concluzia:

Despre ultima cifră a unui număr găsiţi mai multe informaţii aici.
Este o lecţie foarte bine organizată, mai multe ca sigur aveţi ce învăţa de acolo....vă vor ajuta enorm

n=1*2*3+2*3*4+3*4*5+....+98*99*100

Când andy va ajunge în clasa a IX a va avea de demonstrat:

Cu această formulă rezolvăm problema dvs intr-un rând:
Luăm n=98 => 1*2*3+2*3*4+...+98*99*100= (98*99*100*101)/4


Ps: notaţia de U(...) este folosită pentru a desemna ultima cifra a unui număr\expresie.

Buna ziua si va multumesc mult.Am studiat bine explicatia si am reusit sa-i rezolv din culegere inca doua asemanatoare.Ce simplu e cu formula aia de clasa a 9-a.Acum daca am reusit eu sa invat ,trebuie sa-l invat si pe el.In culegere sunt probleme pt nota 5,6.....La cele de 8,9 si 10 nu ma descurc...inca,dar am noroc de dumneavoastra ca ne predati lectii.Pe ''PASIONATI DE NUMERE''sunt inscrisa si m-am apucat de invatat....Va doresc sanatate !

Am calculat si eu cu formula dvs si mi-a iesit.Dar ce ziceti de urmatorul exercitiu:Aflati ultima cifra a nr.1+2*3+3*4*5+4*5*6*7+......+1997&1998*...*3993. Am vazut eu ca 2*3=6,3*4*5=60,4*5*6*7=840,dar nu-mi trece prin cap ce sa fac cu ele ,caci nu vad nicio legatura intre ele.Mai este un exerc .din 2 in 2 cu nr.impare:1*3*5*7+3*5*7*9+...+95*97*99*101.Stiti o formula pt.exerc.astea,asa ca la acela de sus?

Este doar o chestiune de observație, fiecare termen din suma începând cu al 3 termen conține cel putin 2 numere al căror produs are ultima cifra =0.
De exemplu, termenul 3*4*5=.. conține numerele 4 și 5 al căror produs =20(ultima cifra =0)=>U(3*4*5)=0.
Termenul 4*5*6*7=.. conține cifrele 5*6 al căror produs are ultima cifra =0 => U(4*5*6*7)=0
ş.a.m.d...
Pe baza acestor observații puteți finaliza problema .

Si inseamna ca la exerc.cu nr.impare,la produse apare factorul 5 repetat si rezulta ca ultima cifra este 5.Va multumesc de indicatie.Asa am putut s-o deduc si pe ultima.

Adica 5 +1(din fata)=6...asta e ultima cifra a exerc.cu nr.impare. Va multumesc de indicatie.O zi buna !