Aflati numerele naturale

3^x+3^y+3^z=t^2 (1)
3^2p=9^p=M8+1
3^(2p+1) = 3*3^2p=M8+3
Orice patrat perfect la impartirea cu 8 da restul in {0,1,4}
Fie S=3^x+3^y+3^z
Analizam toate cazurile dupa paritatea lui x,y,z:
Ex. x=par , y=impar , z=par rezulta S= (M8+1) + (M8+3) + (M8+1)=M8+5=nu este p.p.
Si ajungem la singurul caz favorabil : x=impar , y=impar , z=impar rezulta S= (M8+3) + (M8+3) + (M8+3)=M8+9=M8+1=poate fi p.p.
Fie x=2k+1 , y=2m+1 si z=2n+1 si relatia (1) fiind simetrica fata de x,y,z putem considera min(x,y,z)=x

Avem S=3^(2k+1)+ 3^(2m+1)+ 3^(2n+1)= (3^(2k+1))*(1+ 3 ^(m-k) +3^(n-k)) si S poate fi p.p. daca exponentul lui 3 este par rezulta m=k=n
rezulta x=y=z=2k+1 si S=(3^(2k+1))*3=(3^(k+1))^2 =t^2 rezulta t=3^(k+1)
R: {x,y,z,t} E {2k+1 , 2k+1 , 2k+1 , 3^(k+1) } , k E N ; evident sunt o infinitate de solutii[/quote]