Egalitate (progresie geometrica).

iutucu Dum Feb 03, 2013 4:17 pm

Sa se arate ca oricare ar fi n aprtine numerelor naturale fara 0 are loc egalitatea:

$\sum\limits_{k = 0}^n {q^k = \frac{{1 - q^{n + 1} }}{{1 - q}}} ,q \ne 0,q \ne 1$

**Admin** Dum Feb 03, 2013 7:08 pm

Demonstrație completa:

$\blacksquare \ \textrm{Notam cu:}\ S=\sum_{k=0}^{n}q^{k}=1+q+q^{2}+...+q^{n} \\ \\ \textrm{{\color{Teal} Vom scrie aceeasi egalitate dar de data asta o inmultim cu q, vom avea}:} \\ \\ \blacksquare \ q\times S=q\left (1+q+q^{2}+...+q^{n} \right )=q+q^{2}+q^{3}+...+q^{n+1} \\ \\ \textrm{{\color{Teal} Mai departe, scadem prima egalitatea de cea de a 2}:} \\ \\ S-qS=1+q+q^{2}+...+q^{n}-\left (q+q^{2}+q^{3}+...+q^{n+1} \right ) \\ \\ \textrm{\textbf{{\color{Magenta} Sau}}:} \ S\left ( 1-q \right )=1-q^{n+1}\\ \\ \textrm{\textbf{{\color{Magenta} Deci}}:} \ \boxed{{\color{DarkGreen} S= \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}}$

Egalitate (progresie geometrica).

Egalitate (progresie geometrica).

Re: Egalitate (progresie geometrica).