Sume trigonometrice

adina_ramfu Sam Dec 22, 2012 8:13 pm

Sa se demonstreze:

a) $\sin ^{4}\frac{\pi }{8}+\sin ^{4}\frac{3\pi }{8}+\sin ^{4}\frac{5\pi }{8}+\sin ^{4}\frac{7\pi }{8}=\frac{3}{2}$

b) $\cos ^{4}\frac{\pi }{8}+\cos ^{4}\frac{3\pi }{8}+\cos ^{4}\frac{5\pi }{8}+\cos ^{4}\frac{7\pi }{8}=\frac{3}{2}$

Multumesc! Smile

**Admin** Sam Dec 22, 2012 8:35 pm

Metode de rezolvare pentru sub-punctul a este aproape identica cu cea a sub-punctului b)
$\begin{array}{l} S = {\sin ^4}\frac{\pi }{8} + {\sin ^4}\frac{{3\pi }}{8} + {\sin ^4}\frac{{5\pi }}{8} + {\sin ^4}\frac{{7\pi }}{8} = \frac{3}{2}\\ \\ {\sin ^4}\frac{\pi }{8} = \frac{1}{8}\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\\ \\ {\sin ^4}\frac{{3\pi }}{8} = \frac{1}{8}\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\\ \\ {\sin ^4}\frac{{5\pi }}{8} = \frac{1}{8}\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\\ \\ {\sin ^4}\frac{{7\pi }}{8} = \frac{1}{8}\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\\ \\ S = \frac{1}{8} \times 12 = \boxed {{\color{Red} \frac{3}{2}}} \end{array}$

Transformarea acelor parți a sumei (acele sinus-uri) în radicali se face foarte simplu (folosind câteva formule trigonometrice cunoscute) însă e ceva de lucru !

Daca credeți ca este neapărat sa postezi detaliat măcar o transformare din totalul de 4 atunci o voi face!

adina_ramfu Lun Dec 24, 2012 2:49 am

Buna seara,
Mi-ar fi de mare folos daca mi-ati posta si o transformare a sinusului.
Multumesc!

**Admin** Mar Dec 25, 2012 7:22 pm

$\begin{array}{l} \boxed{{\color{Red} {\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}}} \Rightarrow {\sin ^2}\frac{x}{2} = \frac{{1 - \cos x}}{2} \to x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow \\ \\ {\sin ^2}\frac{{\frac{\pi }{4}}}{2} = {\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - \cos \frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\\ \\ {\sin ^4}\frac{\pi }{8} = {\left( {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}} \right)^2} = \cdots = \frac{1}{8}\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) \end{array}$

Le fel se procedează și pentru ceilalți termeni ....

Continut sponsorizat

Sume trigonometrice

Sume trigonometrice

Re: Sume trigonometrice

Re: Sume trigonometrice

Re: Sume trigonometrice

Re: Sume trigonometrice