Numarul e

Elena09 Dum Dec 09, 2012 7:35 pm

Sa se calculeze limitele sirurilor:
$a)a_n=(\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{2\sqrt{n+2}})^{n}$
$b)a_n=(\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}})^{2+\sqrt{n}}$

**Admin** Dum Dec 09, 2012 8:52 pm

Prima problema
$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }}{{2\sqrt {n + 2} }} - 1} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} - 2\sqrt {n + 2} }}{{2\sqrt {n + 2} }}} \right)^n}\\ = {\left[ {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{\left( {1 + \frac{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} - 2\sqrt {n + 2} }}{{2\sqrt {n + 2} }}} \right)}^{\frac{{2\sqrt {n + 2} }}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} - 2\sqrt {n + 2} }}}}} \right]^{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} - 2\sqrt {n + 2} } \right)}}{{2\sqrt {n + 2} }}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} - 2\sqrt {n + 2} } \right)}}{{2\sqrt {n + 2} }}}}\\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} - 2\sqrt {n + 2} } \right)}}{{2\sqrt {n + 2} }} = - \frac{3}{4} \end{array}$

Probabil era mult mai bine daca incepeam cu rezolvarea celei de a-2-a probleme care este mai simpla și mai putin de lucru.....
In soluția de mai sus, cred ca totul este clar pana la ultima limita .... acea limita se desparte în 2 (iasă mai simplu asa):

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\left( {\sqrt n - \sqrt {n + 2} } \right)}}{{2\sqrt {n + 2} }} + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt {n + 2} } \right)}}{{2\sqrt {n + 2} }}$

limite ce se calculează standard!

Numarul e

Numarul e

Re: Numarul e