Monotonia unei functii

adelle Dum Noi 25, 2012 4:21 pm

1) Sa se studieze monotonia funcțiilor :

$f:\left( {0,\infty } \right) \to {\rm{R,}}\,\,f\left( x \right) = - \frac{1}{{\sqrt x }}$
$f:\left[ {0,\infty } \right) \to {\rm{R,}}\,\,f\left( x \right) = 1 - \sqrt x$

2) Fie $f:\left( {0,\infty } \right) \to {\rm{R,}}\,\,f\left( x \right) = {x^2} + \frac{2}{x}$

Sa se arate ca $\forall \,{x_1},{x_2} \in \left( {0,\infty } \right),\,f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_2}{x_1}}}\left[ {{x_2}{x_1}\left( {{x_2} + {x_1}} \right) - 2} \right]$ .
${\rm{daca}}\,{x_1},{x_2} \in \left( {0,1} \right),\,{\rm{atunci}}: = {x_2}{x_1}\left( {{x_2} + {x_1}} \right) \le 2$

Editat de Admin.

**Admin** Dum Noi 25, 2012 8:06 pm

Mai întâi, sa definim următorii termeni:

O funcție se numește monotona dacă este crescătoare sau descrescătoare;
O funcție se numește crescătoare dacă și numai dacă oricare ar fi ${x_1},{x_2} \in A,\,{x_1} < {x_2},\,{\rm{avem}}\,f\left( {{x_1}} \right) \le f\left( {{x_2}} \right)$ ....
Funcția este descrescător dacă semnul este invers ( $\ge$ ).
O functie f:A->B, este crescătoare dacă și numai dacă oricare ar fi ${x_1},{x_2} \in A,\,{x_1} < {x_2},\,{\rm{avem}}\,\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right) \ge 0$ .
Funcția este descrescător dacă semnul este invers ( $\ge$ ).

**Admin** Dum Noi 25, 2012 8:12 pm

Pentru a studia dacă funcția este crescătoare sau descrescătoare (adică monotonia funcției) vom folosi definiția 3. Pentru 1a):
$\begin{array}{l} f\left( x \right) = - \frac{1}{{\sqrt x }}\\ {x_1},{x_2} \in \left( {0,\infty } \right),\,\,{\text{verificam}}\,{\text{propozitia:}}\\ \,\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right) = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} - \frac{1}{{\sqrt {{x_1}} }}} \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} {\text{Daca }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right) = {\rm{negativ}}\\ \left( {\frac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} - \frac{1}{{\sqrt {{x_1}} }}} \right) = {\rm{pozitiv}} \end{array} \right. \Rightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right) \le 0 \Rightarrow \\ f\left( x \right) = {\rm{descrescatoare}}{\rm{.}} \end{array}$

1b) se rezolva în mod asemănător.

**Admin** Dum Noi 25, 2012 8:22 pm

2a)
$\begin{array}{l} f\left( x \right) = {x^2} + \frac{2}{x}\\ f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = {x_1}^2 + \frac{2}{{{x_1}}} - {x_2}^2 - \frac{2}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1}^3{x_2} + 2{x_2} - {x_2}^3{x_1} - 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\\ = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2}{x_1}\left( {{x_2} + {x_1}} \right) - 2} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} \end{array}$
Ceea ce trebuia demonstrat.
2b) Se prelucrează pur și simplu expresia.

Continut sponsorizat

Monotonia unei functii

Monotonia unei functii

Re: Monotonia unei functii

Re: Monotonia unei functii

Re: Monotonia unei functii

Re: Monotonia unei functii