Demonstratie a, b numere reale

Thibby Sam Sept 22, 2012 3:41 am

Demonstrati ca a , b sunt numere reale astfel incat | a| < 1 si |b| < 1 atunci $|\frac{a+b}{1+ab}| < 1$

**Admin** Sam Sept 22, 2012 7:42 pm

Exista 2 metode de rezolvare în acest caz și anume :

Metoda deducției (nu este recomandata fiindcă se pierd cazuri);
Metoda standard-explicitare noduli;

Orice profesor de matematic ar merge pe metoda 2 însă.... noi vom prezenta metoda 1 (deși nu este recomandata) dar în acest caz nu se pierd soluții datorita condițiilor inițiale :
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left| a \right| < 1\\ \left| b \right| < 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left| a \right|\left| b \right| < 1 \Leftrightarrow \left| {ab} \right| < 1\left| {\left( { + 1} \right)} \right. \Rightarrow 1 + \left| {ab} \right| < 2\mathop \to \limits^{dar} \,\,1 + \left| {ab} \right| \ge \left| {1 + ab} \right| \Rightarrow \left| {1 + ab} \right| < 2\left( {{\rm{relatia 1}}} \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} \left| a \right| < 1\\ \left| b \right| < 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left| a \right| + \left| b \right| < 2\mathop \to \limits^{dar} \left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right| \Rightarrow \left| {a + b} \right| < 2\left( {{\rm{relatia 2}}} \right)\\ \left( {{\rm{relatia 1}}} \right),\left( {{\rm{relatia 2}}} \right):\\ \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{\left| {1 + ab} \right|}} = \left| {\frac{{a + b}}{{1 + ab}}} \right| < \frac{2}{2} = 1 \end{array}$

Thibby Dum Sept 23, 2012 3:53 pm

Multumesc mult Smile

Am inteles problema Very Happy

Continut sponsorizat

Demonstratie a, b numere reale

Demonstratie a, b numere reale

Re: Demonstratie a, b numere reale

Re: Demonstratie a, b numere reale

Re: Demonstratie a, b numere reale