Puteri de matrice

Licuricy Vin Oct 07, 2011 8:35 pm

Fie matrice $A=\begin{pmatrix} -1 &2 & -2\\ 4& -3&4 \\ 4& -4& 5 \end{pmatrix}$ . Sa se calculeze ${A^{2006}}\,{\text{si}}\,\,{({A^3} + I)^{10}}$ .

**Admin** Sam Oct 08, 2011 12:11 am

Pentru primul punct, sunt doua metode de rezolvare, vom explica soluția ce ni se pare a fi ce mai simpla:
Mai întâi, se poate deduce direct ca $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&{ - 2}\\ 4&{ - 3}&4\\ 4&{ - 4}&5 \end{array}} \right) = \underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right)}_{{I_3}} + \underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&2&{ - 2}\\ 4&{ - 4}&4\\ 4&{ - 4}&4 \end{array}} \right)}_X = {I_3} + X$ .
Pe baza acestei scrieri, vom calcula puterile lui X:

$\begin{array}{l} \underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&2&{ - 2}\\ 4&{ - 4}&4\\ 4&{ - 4}&4 \end{array}} \right)}_X \cdot \underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&2&{ - 2}\\ 4&{ - 4}&4\\ 4&{ - 4}&4 \end{array}} \right)}_X = {X^2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&4&4\\ {16}&{16}&{16}\\ {16}&{16}&{16} \end{array}} \right)\\ {\text{De aici putem observa clar ca:}}\\ {X^2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&4&4\\ {16}&{16}&{16}\\ {16}&{16}&{16} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {1^2} \cdot {2^2}}&{{2^2}}&{ - {1^2} \cdot {2^2}}\\ {{2^4}}&{ - {1^2} \cdot {2^4}}&{{2^4}}\\ {{2^4}}&{ - {1^2} \cdot {2^4}}&{{2^4}} \end{array}} \right) \end{array}$

Si:

$\begin{array}{l} X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {1^1} \cdot {2^1}}&{{2^1}}&{ - {1^1} \cdot {2^1}}\\ {{2^2}}&{ - {1^1} \cdot {2^2}}&{{2^2}}\\ {{2^2}}&{ - {1^1} \cdot {2^2}}&{{2^2}} \end{array}} \right)\\ {\text{Ca sa fim siguri de formula obtinuta calculam }}{X^3}\\ \underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&4&4\\ {16}&{16}&{16}\\ {16}&{16}&{16} \end{array}} \right)}_{{X^2}} \cdot \underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&2&{ - 2}\\ 4&{ - 4}&4\\ 4&{ - 4}&4 \end{array}} \right)}_X = ... = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{ - 8}}}&{\rm{8}}&{{\rm{ - 8}}}\\ {{\rm{64}}}&{{\rm{ - 64}}}&{{\rm{64}}}\\ {{\rm{64}}}&{{\rm{ - 64}}}&{{\rm{64}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {1^3} \cdot {2^3}}&{{2^3}}&{ - {1^3} \cdot {2^3}}\\ {{2^6}}&{ - {1^3} \cdot {2^6}}&{{2^6}}\\ {{2^6}}&{ - {1^3} \cdot {2^6}}&{{2^6}} \end{array}} \right) \end{array}$

Deci într-un final putem generaliza puterile lui X cu aceasta scriere:

${X^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {1^n} \cdot {2^n}}&{{2^n}}&{ - {1^n} \cdot {2^n}}\\ {{2^{2n}}}&{ - {1^n} \cdot {2^{2n}}}&{{2^{2n}}}\\ {{2^n}}&{ - {1^n} \cdot {2^{2n}}}&{{2^{2n}}} \end{array}} \right)$

In mod normal, aceasta formula se demonstrează folosind principiul inducției matematice. Pasul final consta în scrierea matricei ${A^{2006}}$ ca fiind :
${A^{2006}} = {\left( {{I_3} + X} \right)^{2006}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^kI_3^{n - k}} {X^k}$
Acum vom tine cont de faptul ca:
$\left\{ \begin{array}{l} I_3^n{X^n} = {X^n}I_3^n = {X^n}\\ I_3^n = {I_3} \end{array} \right.$
In final, puteți deduce prin calcule elementare puterea 2006 a lui A.

**Admin** Sam Oct 08, 2011 12:15 am

Desi rezolvarea de mai sus este "kilometrica", este abordata foarte des în manualele școlare, am convenit s-o va explicam în pofida faptului ca cea de a doua metoda este mult mai scurta însă este mai complexa.
Referitor la cel de al 2 sub-punct, va puteți inspira din metoda prezentata mai sus.

Continut sponsorizat

Puteri de matrice

Puteri de matrice

Re: Puteri de matrice

Re: Puteri de matrice

Re: Puteri de matrice