Suma, fractii

catalina17 Dum Feb 03, 2013 6:51 pm

Buna ziua!

Calculati suma S= 1/2 - 1/2^2 + 1/2^3 - 1/2^4 + ... + 1/2^19 - 1/2^20

Va rog explicati-mi cum se fac aceste ex!

Multumesc!

**Admin** Lun Feb 04, 2013 7:13 pm

Rezolvarea completa (o varianta)::

$S=\frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} - \frac{1}{2^{4}}+ ... + \frac{1}{2^{19}} - \frac{1}{2^{20}}\\ \\ \textrm{{\color{Teal} Ca punct de plecare, putem scadea 2 cate 2 termeni si vedem ce obtinem:}}\\ \\ S=\frac{1}{2} \times \underset{=\frac{1}{2}}{\underbrace {\left (1- \frac{1}{2} \right )}} +\frac{1}{2^{3}} \times \underset{=\frac{1}{2}}{\underbrace {\left (1- \frac{1}{2} \right )}} +...+\frac{1}{2^{19}} \times\underset{=\frac{1}{2}}{\underbrace {\left (1- \frac{1}{2} \right )}}\\ \\ S=\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{2^{6}}+ ... + \frac{1}{2^{20}}\\ \\ S=\frac{1}{2^{2}}\times\left(1+\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}}+ ... + \frac{1}{2^{10}} \right)$

Ultima suma este calculabila folosind aceasta formula (în acest link găsiți și demonstrația. Deși subiectul este postat în rubrica clasa a-9-a .. formula trebuie cunoscuta și de cei de a-5-a).

Vom rescrie suma ca fiind: $S=\frac{1}{2^{2}}\times \underset{\textrm{\textbf{{\color{Magenta} suma ce se poate calcula cu acea formula}}}}{\underbrace{\left(1+{\color{Red} \frac{1}{2}}+\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}}+ ... + \frac{1}{2^{10}} \right)}}- {\color{Red} \frac{1}{2^{2}} \times \frac{1}{2}}.$

Efectuând calculul vom obține: $S=\frac{1}{2^{2}}\times \left (\frac{1-\frac{1}{2^{11}}}{1-\frac{1}{2}} \right )- \frac{1}{2^{3}}.$

Va rămâne sa finalizați problema.

Suma, fractii

$Suma, fractii Empty$ Suma, fractii

$Suma, fractii Empty$ Re: Suma, fractii