Fractii, suma.

catalina17 Sam Feb 02, 2013 8:17 pm

Buna ziua!
Fie S = 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + ... + 1/3^100. Sa se arate ca S<1/2

Multumesc!

alex53123 Sam Feb 02, 2013 8:39 pm

Nu stiu daca e bine dar eu asa m-am gandit ca s-ar rezolva. Inca o data nu te baza 100% pe ce am scris eu si astepata o solutie de la cineva mai "priceput".

$\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 3}+...+\frac{1}{3\cdot 100}= \frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3}-\frac{1}{100}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+..+\frac{1}{3}-\frac{1}{100}=\frac{1}{3}-\frac{1}{100}= \frac{100}{300}-\frac{3}{300}=\frac{97}{300}=0,32333.....$
$\frac{1}{2}=0,5$
0,32333333333<0,5=> S<0,5=> S< $\frac{1}{2}$

**Admin** Sam Feb 02, 2013 9:39 pm

Pentru a demonstra aceasta inegalitate trebuie sa calculam suma respectiva. Din fericire, aceasta suma este ușor calculabila: vom folosi aceasta formula:

$\boxed{{\color{Magenta}1+q+q^{2}+q^{3}+...+q^{n-1}=\frac{1-q^{n}}{1-q}}}$

S = 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + ... + 1/3^100 =1/3 (1+ 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + ... + 1/3^99).

$q=\frac{1}{3},n=100 \Rightarrow \boxed{S=\frac{1}{3}\times \frac{1-\left (\frac{1}{3} \right )^{100}}{1-\frac{1}{3}}}\\ \\ \\ \blacksquare \ S=\frac{1}{2}\times \left [ 1-\left (\frac{1}{3} \right )^{100} \right ]<\frac{1}{2}$

Continut sponsorizat

Fractii, suma.

Fractii, suma.

Re: Fractii, suma.

Re: Fractii, suma.

Re: Fractii, suma.