Convergenta- Proprietatea lui Weierstrass

Lauryca Sam Dec 01, 2012 9:04 pm

Sa se studieze convergenta sirurilor: (lectia Proprietatea lui Weierstrass)
$\begin{array}{l} \left. a \right){a_n} = \frac{{{{\left( {n - 3} \right)}^2}}}{{{n^2} + 1}}\\ \left. b \right){b_n} = \frac{1}{{0!}} + \frac{1}{{1!}} + ... + \frac{1}{{n!}}\\ \left. c \right){c_n} = \frac{1}{{1! \times 1}} + \frac{1}{{2! \times 2}} + ... + \frac{1}{{n! \times n}} \end{array}$

Multumesc anticipat!

Editat de Unu
Mutat în secțiunea corespunzătoare.

**Admin** Sam Dec 01, 2012 10:39 pm

Teorema lui Weierstrass:

Sub-punctul a) mărginirea:
$\begin{array}{l} {a_n} = \frac{{{{\left( {n - 3} \right)}^2}}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{{n^2} - 6n + 9}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2} + 1}} + \frac{{8 - 6n}}{{{n^2} + 1}}\\ = 1 + \frac{{8 - 6n}}{{{n^2} + 1}} \leq 9,\,\,n \in N \Rightarrow {a_n} = {\rm{marginit}}{\rm{.}} \end{array}$

Monotonie
${a_{n + 1}} - {a_n} = \frac{{{{\left( {n + 1 - 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \frac{{{{\left( {n - 3} \right)}^2}}}{{{n^2} + 1}} = ... = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2\left( { - 7 - 5n + 3{n^2}} \right)}}{{\left( {1 + {n^2}} \right)\left( {2 + 2n + {n^2}} \right)}} > 0,\,n \ge 3\\ < 0,\,n \in \left[ {0,3} \right). \end{array} \right.$
Studiind valoarea lui n pe intervalele indicate => Conform Weierstrass => a_n= convergent.

**Admin** Sam Dec 01, 2012 11:15 pm

Sub-punctul b) mărginirea:
Convergenta- Proprietatea lui Weierstrass T724-c10

**Admin** Sam Dec 01, 2012 11:17 pm

Sub-punctul b) monotonie:
Convergenta- Proprietatea lui Weierstrass T724-c11

**Admin** Sam Dec 01, 2012 11:19 pm

Sub-punctul c) mărginirea:
$\begin{array}{l} {c_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k \times k!}}} \\ 1 + k \times k! \ge {2^k},\,k \ge 1 \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k \times k!}}} \le 1 + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{2^k}}}} \le 2 \Rightarrow {c_n} = {\text{marginit}}{\rm{.}} \end{array}$
Sub-punctul c) monotonia:
${c_{n + 1}} - {c_n} = ...{\text{{\color{Red} TEMA}!}}$

**Admin** Dum Dec 02, 2012 12:28 am

La Sub-punctul b) am uitat sa iau în considerare și termenul $\frac{1}{{0!}}$ .... Raționamentul este, în continuare, corect .... deci adaugați în suma doar acel termen.

Continut sponsorizat

Convergenta- Proprietatea lui Weierstrass

Convergenta- Proprietatea lui Weierstrass

Re: Convergenta- Proprietatea lui Weierstrass

Re: Convergenta- Proprietatea lui Weierstrass

Re: Convergenta- Proprietatea lui Weierstrass

Re: Convergenta- Proprietatea lui Weierstrass

Re: Convergenta- Proprietatea lui Weierstrass

Re: Convergenta- Proprietatea lui Weierstrass