Multimi si intervale

ionutz Lun Oct 08, 2012 12:59 pm

1. Se considera multimea A={x $\epsilon$ R | |2x+1| $\leq$ 5} si B={x $\epsilon$ R| $-3< \frac{x+1}{2}\leq 1$ }

Calculati:

$A\bigcap B$
$A\bigcup B$
A - B
B - A

2.Stabiliti daca nr. a= $\frac{2}{1*3}+\frac{2}{3*5}+...+\frac{2}{49*51}$ apartine intervalului $\left ( \frac{1}{2} ,1\right )$

**Admin** Lun Oct 08, 2012 3:56 pm

Pentru sub-punctul a voi determina mulțimile .... rămânând dvs. sa determinați operațiile (intersecția, reuniunea...etc)...
Pentru mulțimea A, vom folosi proprietatea de inegalitate a modulului : $\left| z \right| \le a \Leftrightarrow - a \le z \le a$ ....
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} z = 2x + 1\\ a = 5 \end{array} \right. \Rightarrow \left| {2x + 1} \right| \le 5 \Leftrightarrow - 5 \le 2x + 1 \le 5\left| {\left( { - 1} \right)} \right. \Leftrightarrow - 5 - 1 \le 2x + 1 - 1 \le 5 - 1\\ - 6 \le 2x \le 4\left| {\left( { \div 2 > 0} \right)} \right. \Rightarrow - 3 \le x \le 2 \Rightarrow A = \left[ { - 3,2} \right] \end{array}$

Pentru mulțimea B:
$\begin{array}{l} - 3 < \frac{{x + 1}}{2} \le 1\left| { \times 2} \right. \Rightarrow - 3 \times 2 < \frac{{x + 1}}{2} \times 2 \le 1 \times 2 \Leftrightarrow - 6 < x + 1 \le 2\left| {\left( { - 1} \right)} \right. \Rightarrow \\ - 6 - 1 < x + 1 - 1 \le 2 - 1 \Leftrightarrow - 7 < x \le 1 \Rightarrow B = \left( { - 7,1} \right] \end{array}$

**Admin** Lun Oct 08, 2012 4:09 pm

Problema 2 este destul de interesanta, mai întâi, observam ca numitorul tuturor fracțiilor sunt numere generate de k: $\frac{1}{{\left( {2k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}$ . Daca dați valori lui k, pe rând, de la 1 la 25 vom obține exact acele fracții .... deci ca sa rezolvam problema trebuie sa rescriem acele fracții convenabil, .... pentru aceasta, vom folosi metoda identificării coeficienților:
$\begin{array}{l} \frac{1}{{\left( {2k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} = \frac{A}{{2k - 1}} + \frac{B}{{2k + 1}} = \frac{{2kA + A + 2kB - B}}{{\left( {2k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} = \frac{{2k\left( {A + B} \right) + A - B}}{{\left( {2k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \Rightarrow \\ \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0\\ A - B = 1 \end{array} \right. \Rightarrow A = \frac{1}{2},\,B = - \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{{\left( {2k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2k - 1}} + \frac{1}{{2k + 1}}} \right) \end{array}$
Acum rescriem fracțiile convenabil:
$\begin{array}{l} \frac{2}{{1 \times 3}} = \frac{2}{2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\\ \frac{2}{{3 \times 5}} = \frac{2}{2}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}\\ \frac{2}{{5 \times 7}} = \frac{2}{2}\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{7}} \right) = \frac{1}{5} - \frac{1}{7}\\ ..........\\ \frac{2}{{49 \times 50}} = \frac{2}{2}\left( {\frac{1}{{49}} - \frac{1}{{50}}} \right) = \frac{1}{{49}} - \frac{1}{{50}} \end{array}$
Deci dacă adunam toate fracțiile ce obținem ? ..... Atenție mare !

Continut sponsorizat

Multimi si intervale

Multimi si intervale

Re: Multimi si intervale

Re: Multimi si intervale

Re: Multimi si intervale