Demonstratie Inegalitati cu necunoscute.Ms pt rezolvare

Nikolle Dum Aug 26, 2012 6:12 am

Va rog sa am ajutati cu acest exercitiu.

Aratati ca: $\dpi{80} (a+b+c)(\left \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geqslant 9$ ,∇ a,b,c ∈R*

**Admin** Dum Aug 26, 2012 6:24 am

Aceste probleme se numesc inegalității matematice nu inecuații ... se rezolv, de obicei, jonglând cu anumite inegalității standard cunoscute... problemele de tip inegalitate-matematica din sfera clasa a-9-liceu sunt în general rezolvabile folosind inegalitatea mediilor. Pentru problema de fata:
$\begin{array}{l} \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\\ {\rm{Din}}\,{\left( {{\rm{MA}} - {\rm{MG}}} \right)_3}:\\ a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{a} \times \frac{1}{b} \times \frac{1}{c}}}\\ - - - - - - - - - - - - - - - \\ \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}} \times 3\sqrt[3]{{\frac{1}{a} \times \frac{1}{b} \times \frac{1}{c}}} = 9 \end{array}$

Nikolle Dum Aug 26, 2012 6:28 am

Dar nu am studiat si nu am lucrat cu $\sqrt[3]{x}$ sau cu $\sqrt[2]{x}$ cu numarul ala scris pe radical! Nu am lucrat cu el! Nu a fost in programa clasei a 9-a!

**Admin** Dum Aug 26, 2012 6:33 am

Poate în școala dvs. nu se învățat aceasta noțiune (inegalitatea mediilor) ... inegalitate mediilor se studiază încă din clasa a 7 cum am mai spus ... (nu este vizata, în special, noțiune de radical cub sau orice ordine mai mare ca 3 a radicalilor ci doar inegalitatea în sine) .... Aceasta problema este arhicunoscuta rezolvarea standard se face cu (MA-MG)_3 - media aritmetica-media geometrica.

**Admin** Dum Aug 26, 2012 7:15 pm

A 2 metoda prin care se poate rezolva aceasta problema este folosind inegalitatea CBS (Cauchy - Buniakowsky - Schwartz) :
$CB{S_2}:\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {ax + by} \right)^2}$
Aceasta este CBS_2 adica pentru 2 numere, CBS_3 se scrie sub o forma asemănătoare adăugând doar un număr.... in CBS_3 luam:
$\begin{array}{l} CB{S_3}:\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {ax + by + cz} \right)^2}\\ \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt a \\ y = \sqrt b \\ z = \sqrt c \\ a = \sqrt {\frac{1}{a}} \\ b = \sqrt {\frac{1}{b}} \\ c = \sqrt {\frac{1}{c}} \end{array} \right. \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = \left( {{{\sqrt a }^2} + {{\sqrt b }^2} + {{\sqrt c }^2}} \right)\left( {{{\sqrt {\frac{1}{a}} }^2} + {{\sqrt {\frac{1}{b}} }^2} + {{\sqrt {\frac{1}{c}} }^2}} \right) \ge \\ \ge {\left( {\sqrt a \sqrt {\frac{1}{a}} + \sqrt b \sqrt {\frac{1}{b}} + \sqrt c \sqrt {\frac{1}{c}} } \right)^2} = {\left( {1 + 1 + 1} \right)^2} = 9 \end{array}$

Notațiile din CBS sunt niște notații explicative ...sper ca nu ridica anumite confuzii

Nikolle Dum Aug 26, 2012 10:34 pm

MERSI

Continut sponsorizat

Demonstratie Inegalitati cu necunoscute.Ms pt rezolvare

Demonstratie Inegalitati cu necunoscute.Ms pt rezolvare

Re: Demonstratie Inegalitati cu necunoscute.Ms pt rezolvare

Re: Demonstratie Inegalitati cu necunoscute.Ms pt rezolvare

Re: Demonstratie Inegalitati cu necunoscute.Ms pt rezolvare

Re: Demonstratie Inegalitati cu necunoscute.Ms pt rezolvare

Re: Demonstratie Inegalitati cu necunoscute.Ms pt rezolvare

Re: Demonstratie Inegalitati cu necunoscute.Ms pt rezolvare