Demonstratii geometrice paralelogram, romb si patrat

7.65.
a).Prin varfurile unui patrulater convex se duc paralelele la diagonalele acestuia.Sa se dem ca acestea formeaza un paralelogram.
b).Precizatio ipotea suplimentara pentru diagonalele patrulaterului,astfel incat paralelogramul sa fie dreptunghi,respectiv patrat.
7.66
In triunghiul ABC se considera bisectoarea unghiului A,notata [AA'.(A' inclus pe BC) si se construiesc A'M || AB (M inclus pe AC),respectiv A'N || AC(N inclus pe AB).Sa se demonstreze ca AMA'N este romb.
7.67
Fie un patrat ABCD si punctele M,N,P,Q care apartin semidreptelor [AB,[BC,[CD,[DA si pentru care (AM)=(BN)=(CP)=(DQ).Sa se demonstreze ca MNPQ este patrat.

7.67Fie un patrat ABCD si punctele M,N,P,Q care apartin semidreptelor [AB,[BC,[CD,[DA si pentru care (AM)=(BN)=(CP)=(DQ).Sa se demonstreze ca MNPQ este patrat.

Datele problemei:
ABCD Patrat => AB=BC=CD=DA
AM=BN=CP=DQ
Rezolvare:
AB = BC
AM = BN
=> MB = NC (relaţia 1) (se poate arăta şi altfel această egalitate)
BC = CD
BN = CP
=> NC = DP (relaţia 2) (se poate arăta şi altfel această egalitate)
---------------
Continuăm cu acelaşi raţionament =>...=> DP = AQ (relaţia 3)
(relaţia 1)+(relaţia 2)+(relaţia 3) => MB=NC=PD=QA (relaţia 4)
ABCD Pătrat , (relaţia 4) =>
MNPQ Pătrat.
Urmăriţi imaginea:

Atenţie:
În desen, am luat M,N,P,Q ca mijloace a segementelor AB,BC,CD,DA doar pentru claritatea desenului, în realitate M,N,P,Q nu se află neapărat în mijlocul segementlor enumărate.

7.66
In triunghiul ABC se considera bisectoarea unghiului A,notata [AA'.(A' inclus pe BC) si se construiesc A'M || AB (M inclus pe AC),respectiv A'N || AC(N inclus pe AB).Sa se demonstreze ca AMA'N este romb.

Pentru a demonstra că AMA'N este romb folosim proprietatea:
Daca într-un paralelogram o diagonală este bisectoarea unui unghi, atunci paralelogramul este romb.
În datele problemei, ni se sugerează că AA' este bisectoarea unghiului A, deci mai trebuie să demonstrăm că figura respectivă este paralelogram.
AA' bisectoarea unghiului A => U(A'AN)=U(A'AM); U=măsura unui unghi .
Apoi:
A'M || AB
A'N || AC
=> U(AA'N)=U(AA'M) => AA' bisectoarea unghiului A' => unghiurile opuse sunt congruente.
Mai departe, folosim proprietatea:
Dacă într-un patrulater convex unghiurile opuse sunt congruente, atunci patrulaterul este paralelogram.
Urmăriţi figura: