Ecuatii diferentiale de ordin n

axa Dum Apr 01, 2012 3:13 am

Salut .

Am de rezolvat o tema si nu ma descurc la o problema .

y^IV-y=x³+x

Puteti sa ma ajutati ?
Multumesc.

**Admin** Lun Apr 30, 2012 2:13 am

Problema se poate rezolva folosind o metoda diferita de cea a variației liniare :

Daca termenul liber este de forma $f\left( x \right) = {e^{\alpha x}}\left( {{P_l}\left( x \right)\cos \beta x + {P_m}\left( x \right)\sin \beta x} \right)$ atunci soluția particulara a ecuației este de forma : ${y_0}\left( x \right) = {x^p}{e^{\alpha x}}\left( {{Q_s}\left( x \right)\cos \beta x + {R_s}\left( x \right)\sin \beta x} \right),\,\alpha ,\beta \in R,$ iar Pl,m sunt polinoame de gradul l ,m, și Q,R sunt polinoame de gradul s=max{l,m}

Teorema
Soluția ecuației de mai sus este una de forma : $y\left( x \right) = \overline {y\left( x \right)} + {y_0}\left( x \right)$ .
$\begin{gathered} \overline {y\left( x \right)} = {y^{IV}} - y \hfill \\ EO:{r^4} - 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {r_{1,2}} = \pm 1 \hfill \\ {r_{3,4}} = \pm i \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$
Având r=(1,-1,i,-i) se poate scrie forma finala a lui y_barat_(x).
Pentru a afla y_0 vom folosi următoarea teorema :
$\begin{gathered} {\text{Daca in ecuatia liniara L}}\left( y \right) = f\left( x \right),\,f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^p {{f_k}\left( x \right)} ,\,\;{\text{atunci ecuatia admite solutie de forma :}} \hfill \\ {{\text{y}}_0}\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^p {{y_{0,k}}\left( x \right)} ,\,\,{\text{unde}}\,\,{y_{0,k}}\;{\text{solutie a ecuatiei L}}\left( y \right) = {f_k}\left( x \right),k = \overline {1,p} \hfill \\ \end{gathered}$ .
Sa traducem :
$\begin{gathered} {y_0}\left( x \right) = {y_{01}}\left( x \right) + \underbrace {{y_{02}}\left( x \right)}_{ = 0} \hfill \\ {y_{01}}\left( x \right) \to {f_1}\left( x \right) = {x^3} + x \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \alpha = 0 \hfill \\ \beta = 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} l = 3 \hfill \\ m = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow s = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$
Mai de parte aplicam T2 => y_o_(x).

**Admin** Lun Apr 30, 2012 2:17 am

Aplicarea T2 se poate face mult mai detaliat ... însă calculele le consideram de nivelul clasei a 9, de aceea am preferat sa sărim peste acele calcule presupunând ca sunteți la curent cu acestea !.

Ps: în caz ca nu va descurcați puteți oricând solicita continuarea problemei ... suportul Matematica-Ajutor urmărește "feedback-ul" solicitanților privind înțelegerea soluțiilor postate.

**Reclama** Dum Mai 13, 2012 4:09 am

Continut sponsorizat

Ecuatii diferentiale de ordin n

Ecuatii diferentiale de ordin n

Re: Ecuatii diferentiale de ordin n

Re: Ecuatii diferentiale de ordin n

Re: Ecuatii diferentiale de ordin n

Re: Ecuatii diferentiale de ordin n