Probleme numere Complexe

Isac Sam Oct 22, 2011 10:26 pm

Am cateva exercitii cu care nu ma descurc deloc:
1.)Sa se arate ca ${( - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2})^{2001}} + {( - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2})^{2001}} = 2$
2.)Determinati numerele complexe z care verifica relatia ${z^2} = \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}$

3.)Sa se rezolve ecuatia ${(z - 1)^n} = {(z + 1)^n},n \in *$

Codul e in Latex 2.09 and Later

**Admin** Dum Oct 23, 2011 1:11 am

Isac a scris:Am cateva exercitii cu care nu ma descurc deloc:
1.)Sa se arate ca ${( - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2})^{2001}} + {( - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2})^{2001}} = 2$

Aceasta problema este una clasica, ca metoda de rezolvare se pornește de la ecuația de gradul II ai cărei rădăcini sunt chiar numerele în cauza :
$\begin{array}{l} {x^2} + x + 1 = 0\\ \Delta = {b^2} - 4ac = 1 - 4 = - 3 = 3{i^2}\\ {x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {3{i^2}} }}{2} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2} \end{array}$

Si mai departe putem observa ca:

$\begin{array}{l} {x^2} + x + 1 = 0\left| { \times \left( {x - 1} \right)} \right. \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 1 = 0 \Rightarrow {x^3} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1}^3 = 1\\ {x_2}^3 = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1}^{3 \cdot 667} = {1^{667}}\\ {x_2}^{3 \cdot 667} = {1^{667}} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1}^{2001} = 1\\ {x_2}^{2001} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1}^{2001} + {x_2}^{2001} = 2 \end{array}$

Ceea ce ați urmărit.

**Admin** Dum Oct 23, 2011 1:12 am

Isac a scris:2.)Determinati numerele complexe z care verifica relatia ${z^2} = \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Problema este un standard, adică se ia un z de forma a+ib se ridica la patrat, mai apoi se identifica coeficientii.

Isac Dum Oct 23, 2011 4:20 am

Va multumesc mult pentru ajutorul oferit

Continut sponsorizat

Probleme numere Complexe

Probleme numere Complexe

Re: Probleme numere Complexe

Re: Probleme numere Complexe

Re: Probleme numere Complexe

Re: Probleme numere Complexe