Probleme de olimpiada

camy1010 Vin Sept 09, 2011 9:27 pm

Buna ..de curand am inceput sa ma pentru noul an scolar ( acest lucru incluzand si olimpiada de matematica) si am gasit nste probleme pe care nu le pot rezolva

1. Numarul E este un numar real, E = x la puterea a 4 +x la puterea a 3 +x la puterea a2+ x +1/x+1/x la a2a +1/x la a3a + 1 / x la a4a. Stiid ca (x-1/x)la puterea a3a = 64 , aflati numarul E.

2. Sa se demonstreze suma a trei numere intregi consecutive nu poate fi egal cu cubul unui numar natural.

3. Fie x, y si z numere reala astfel incat x+y+z=6 si xy+xz+yz = 12 . Aflati numerele.

Multumesc anticipat!

**Greatmath** Sam Sept 10, 2011 4:50 am

camy1010 a scris:3. Fie x, y si z numere reala astfel incat x+y+z=6 si xy+xz+yz = 12 . Aflati numerele.

Voi rezolva problemele pe rând:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 6\\ xy + yz + xz = 12 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + y + z} \right)^2} = 36 \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {\underbrace {xy + yz + zx}_{ = 12}} \right) = 36\\ xy + yz + xz = 12 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 12\\ {\text{Se stie ca }}{x^2} + {y^2} + {z^2} > xy + yz + xz\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + {z^2} = xy + yz + xz \Leftrightarrow x = y = z \end{array}$
De unde și concluzia.....

**Greatmath** Sam Sept 10, 2011 6:37 pm

camy1010 a scris:1. Numarul E este un numar real, E = x la puterea a 4 +x la puterea a 3 +x la puterea a2+ x +1/x+1/x la a2a +1/x la a3a + 1 / x la a4a. Stiid ca (x-1/x)la puterea a3a = 64 , aflati numarul E.

Nu cumva este ${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} = 64$ ?

Continut sponsorizat

Probleme de olimpiada

Probleme de olimpiada

Re: Probleme de olimpiada

Re: Probleme de olimpiada

Re: Probleme de olimpiada