Functia putere cu exponent natural

Sa se demonstreze inegalitatea:

ps:(Generalizat este inegalitatea lui Jensen, demonstrata prin inductie).Eu am reusit sa rezolv exercitiul, ridicand pur si simplu la puterea 3 si efectuand restul calculelor.La "rezultate" spune ca pe intervalul [0, infinit) fct putere este convexa, deci .Adica se poate rezolva exercitiul in alt mod utilizand formula respectiva?

Va multumesc anticipat!

Da într-adevăr, problema se rezolva prin 2 metode:

• Prima (care este și cea mai lunga): se ridica la a 3 și se prelucrează inegalitatea pana se ajunge la o forma simpla (exact cum ați procedat);
  
• Metoda a 2: presupune folosirea inegalități lui Jensen pentru funcții convexe/concave. Deci se arata dacă funcția este convexa/ concava apoi se aplica inegalitatea. In acest caz funcția este f(x)=x^3 iar f(y)=y^3. Trebuie arătat ca funcția f(x)=x^3 este o funcție convexa pe intervalul [0, infinit) apoi se aplica Jensen => întocmai inegalitatea din enunți pentru f(x)=x^3.