Sa se demonstreze inecuatia

adina_ramfu Sam Dec 22, 2012 7:55 pm

Se considera inecuatia $\frac{1}{2x-\sqrt{5n+1}+2}\geq \frac{1}{4}$ , unde n este un numar natural nenul. Sa se demonstreze ca pentru orice n(natural nenul), multimea solutiilor contine cel mult doua numere naturale.

**Admin** Sam Dec 22, 2012 8:23 pm

Inecuația este una foarte simpla ... este suficient sa restrângem x într-un interval nenul .... Mai apoi studiem acel interval.
Dupa unele operații matematice simple se ajunge la forma:
$\frac{1}{{2x - \sqrt {5n + 1} + 2}} \ge \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\sqrt {5n + 1} - 2} \right) < x \le \frac{1}{2}\left( {\sqrt {5n + 1} + 2} \right)$

$\begin{array}{l} \frac{{\sqrt {5n + 1} }}{2} - 1 < x \le \frac{{\sqrt {5n + 1} }}{2} + 1\\ \\ t = \frac{{\sqrt {5n + 1} }}{2} \Rightarrow t - 1 < x \le t + 1 \Rightarrow x \in \left\{ {t,t + 1} \right\} \end{array}$

Deci, mulțimea soluțiilor cuprinde maxim 2 numere naturale consecutive !

Ultima notație nu corespunde sensului matematic riguros ... am avut intenția sa va arat ca acel interval de soluții conține maxim 2 numere naturale!

Sa se demonstreze inecuatia

Sa se demonstreze inecuatia

Re: Sa se demonstreze inecuatia