Determinanti geometrie

Elena09 Joi Ian 24, 2013 12:34 am

1.Se dau punctele A(0,1), B(4,-2), C(4,-1), D(5,3). Sa se determine punctele M de pe dreapta de ecuatia 3y-x-5=0 pentru care Aria[MAB]=Aria[MCD].

**Admin** Joi Ian 24, 2013 1:18 am

Rezolvarea completa:

Mai întâi de toate, fie M(a,b) un punct. Apoi folosim formula ariei unui triunghi determinat de 3 puncte:

${A_{ABC}} = \frac{1}{2} \times \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right| \to A\left( {{x_1},{y_1}} \right);B\left( {{x_2},{y_2}} \right);C\left( {{x_3},{y_3}} \right)$

Si pe rând calculam ariile:

$\begin{array}{l} {A_{MAB}} = \frac{1}{2} \times \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&1\\ 0&1&1\\ 4&{ - 2}&1 \end{array}} \right| = \frac{{3a + 4b - 4}}{2}\\ \\ {A_{MAB}} = \frac{1}{2} \times \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&1\\ 4&{ - 1}&1\\ 5&3&1 \end{array}} \right| = \frac{{ - 4a + b + 17}}{2}\\ \\ {\color{Magenta} {A_{MAB}} = {A_{MAB}}} \Leftrightarrow \frac{{3a + 4b - 4}}{2} = \frac{{ - 4a + b + 17}}{2} \Leftrightarrow 7a + 3b - 21 = 0 \end{array}$

De aici am obținut o ecuație importanta (am parcurs 50% din problema).Pasul 2: un punct aparține unei drepte dacă și numai dacă coordonatele lui verifica dreapta.

Sa se determine punctele M de pe dreapta de ecuatia 3y-x-5=0

Asta este echivalent cu 3b-a-5=0 care este ecuația numărul 2. Cu ecuația 1 și 2 formam un sistem si-l rezolvam:

$\left\{ \begin{array}{l} 7a + 3b - 21 = 0\\ 3b - a - 5 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = \frac{7}{3} \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2,\frac{7}{3}} \right)$

Gata ! (verificați corectitudinea calculelor).

Elena09 Joi Ian 24, 2013 1:46 pm

Sunteti extraordinar ! Multumesc mult!

Continut sponsorizat

Determinanti geometrie

Determinanti geometrie

Re: Determinanti geometrie

Multumesc`

Re: Determinanti geometrie