Matrici la puterea n

Fie
Să se calculeze

Ati învățat la școală ecuația lui Hamilton-Cayley ?

Nu , nu am invatat. Doar met inductiei matematice. Sunt la profil servici studiez matematica m2,daca intelegeti ce vreau sa zic.

Pentru astfel de probleme exista 3 metode de rezolvare :

1. Transformarea elementelor matrici în forme trigonometrice al căror sume pana la n sunt ușor calculabila;
   
2. Folosirea principiului Hamilton-Cayley (acesta este metoda cea mai simpla) ;
   
3. Calculul lui pana ghicim forma finala a matrici la puterea n apoi demonstram forma finala folosind principiul inducției matematice (acesta fiind cea mai complexa metoda de rezolvare și cea mai lunga dintre toate);
   

Problema dvs se poate rezolva în 5 rânduri folosind metoda 2 însa dacă preferați metoda 3 va asigur ca o sa aveți o mare bătaie de cap .....
Ps : dacă vreți va pot arata rezolvarea completa la problema folosind metoda 2, sau traseul pentru metoda 3.

Daca doriti sa-mi rezolvati sunt de acord. Eu am calculat prin metoda 3 dar nu am stiut ce sa ii mai fac pt ca m-am impotmolit. A2-a met nu am studiat-o la scoala ,daca puteti as dori sa-mi aratati prin ambele metode cum sa rezolv pt ca alta data sa stiu care sa o aleg. Multumesc

Imi aratati va rog frumos domnule profesor!

Folosim Teorema lui Cayley :
Orice matrice de forma verifica o ecuație de forma :

Pana acum nimic interesant...dar sa vedem ce urmează :
Se demonstrează prin inducţie că există două şiruri reale .
Pentru a calcula șirul vom aveam nevoie de primi termeni :

Voi posta continuare pe un alt post....( nu putem genera mesaje foarte lungi într-un singur post...apar erori)

Deci cum putem afla șirurile respective ?
Având în vedere x1,2 y1,2 se poate deduce prin inducție ca :

Mai departe, putem afla xn din egalitatea : , unde r1,2 sunt rădăcinile ecuației caracteristice (ecuația lui Cayley) :
Într-un final având xn, yn se intra cu ele în formula lui An.
Cam asta ar fi toată teoria ...!!!