Exerciu progresii

Theodore Lun Noi 21, 2011 12:13 am

Buna seara. Va rog sa ma ajutati si pe mine la o problema. Chiar nu ma dumiresc Neutral

Fie a1, a2, a3 si b1, b2, b3, cate trei numere in progresie aritmetica (respectiv geometrica), astfel incat b1 nu este egal cu b2 si a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3. Sa se arate ca, daca a1b1, a2b2, a3b3 sunt in progresie geometrica, atunci a1 = b2 (respectiv a1 + b1 = a3 + b3).

Multumesc anticipat Very Happy

**Greatmath** Mar Noi 29, 2011 9:28 am

Daca șirul ${a_i}$ este în progresie aritmetica atunci diferența dintre oricare ar fi doua numere consecutive ai șirului ${a_i}$ este d. Cu alte cuvinte, d este rația progresiei date. Același lucru și pentru progresia geometrica ${b_i}$ , unde vom nota cu r rația acestuia. Atunci relația ${a_1} + {a_2} + {a_3} = {b_1} + {b_2} + {b_3}$ este echivalenta cu relația : $3{a_1} + 3d = \frac{{{b_2}}}{r} + {b_2} + {b_2} \cdot r$ .
Pornim de la condiția data ${a_i}{b_i}$ progresie geometrica atunci putem scrie :
$\begin{array}{l} a_2^2b_2^2 = {a_1}{b_1}{a_3}{b_3} \Rightarrow {\left( {{a_1} + d} \right)^2} \cdot {b_2} = {a_1} \cdot \left( {{b_2}/r} \right) \cdot \left( {{a_1} + 2d} \right) \cdot r{b_2}\\ \Rightarrow a_1^2 + 2{a_1}d + {d^2} = a_1^2 + 2{a_1}d \Rightarrow {d^2} = 0 \Rightarrow d = 0 \end{array}$ .
deci $a_{1}=a_{2}=a_{3}$ .
De aici, concluzia este evidenta .

Exerciu progresii

Exerciu progresii

Re: Exerciu progresii